Квантово-структурная теория

From: Виктор Свиридов ( trc-svn@laes.sbor.ru ) Date: 2000-04-10 14:11

Лекция 1.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВО-СТРУКТУРНОЙ ТЕОРИИ (КСТ).

Окружающий нас Мир можно рассматривать с различных позиций. Все его многообразие материальных и нематериальных явлений можно анализировать и описывать в виде пространственных, временных, причинно-следственных и других зависимостей. Все это делается в рамках других научных и ненаучных теорий. Нас же будет интересовать только один аспект из всего этого многообразия взаимосвязей.
Независимо от физической сущности объектов и явлений природы все они имеют некоторое общее свойство. С одной стороны, все они являются частью чего-либо "более общего", с другой стороны, сами являются этим "общим" при рассмотрении на другом, более "низком" уровне.
Таким образом, если абстрагироваться от всех различий присущих объектам и явлениям физического Мира, то последние можно рассматривать как некоторое пространство (совокупность) однотипных взаимосвязанных объектов. Такое пространство как известно называют структурой. А поскольку пространство наше состоит из дискретных элементов (частиц или квантов) то и называть его мы будем квантово-структурным пространством (КСП), а элементы КСП будем называть квантами структуры (КС).
Определим формально КСП и КС.

1. Понятие кванта структуры и квантово-структурного пространства.

Пусть задано дискретное конечное пространство S взаимосвязанных между собой объектов (элементов)
si = > S, где:
1) для каждого элемента si определены два линейно-упорядоченных подмножества (цепочки) Ii и Oi произвольной длины, составленных из элементов того же пространства S;
2) задано отношение порядка такое, что
sj < si < sk, если sj = > Ii и sk = > Oi ;
3) задано отношение равенства такое, что
si = sj, если Ii = Ij ;
4) для любой пары элементов si, sj выполняется условие si =/ sj .

Здесь и далее в связи с ограниченными графическими возможностями конференции будем пользоваться следующими не совсем стандартными условными обозначениями:

S - КСП;
si - i-тый элемент КСП S;
si < sk - элемент si предшествует элементу sk;
sj = > Ii - элемент sj принадлежит множеству Ii i-го элемента;
= - знак равенства элементов;
=/ - знак неравенства элементов;
<s1 s2 ... sk > - линейно-упорядоченное множество элементов (цепочка);

Пространство S, удовлетворяющее данным условиям, будем называть квантово-структурным пространством (КСП), а элементы si - квантами (частицами) структуры (КС).
В ряде случаев КСП графически может быть изображено в виде графа, вершинами которого являются элементы si, а направление и порядок следования дуг соответствуют отношению порядка. Дуга направлена от вершины si к вершине sj, если si < sj и пересечение множеств Oi и Ij не пустое (Oi и Ij имеют общие элементы) .
Условно примем, что порядок следования дуг, примыкающих к вершине графа, соответствует порядку следования элементов в цепочках: для Ii - против часовой стрелки; для Oi - по часовой стрелке.
Если изобразить КСП в в виде графа, то можно увидеть, что с каждый элементом si можно сопоставить два подмножества из S, а именно подмножество Ii элементов sj определяющее входящие в вершину si связи и подмножество Oi элементов sk определяющее исходящие из вершины si связи.

Определим квант структуры si как тройку:

(si / Ii/ Oi), где (1)

Ii и Oi - упорядоченные подмножества (цепочки) элементов множества S;

/ - это просто разделитель элементов выражения.

Выражение (1) будем называть описанием КС si, а само обозначение si именем кванта структуры.

Множество Ii будем называть множеством входов КС, а множество Oi - множеством выходов КС.

Элементы sj = > Ii будем называть родителями или предками si, а sj = > Oi - потомками.

Связи, определяемые Ii и Oi, будем называть квантово-структурными связями (КС-связи) соответственно входными и выходными. Все множество множеств Ii и Oi будем обозначать как I(S) и O(S) соответственно.

Таким образом, в КСП каждый квант структуры определяется своим именем, упорядоченным множеством входов и множеством выходов.

2. Типы квантов структуры.

Из анализа выражения (1) видно, что в S можно выделить четыре типа КС характеризующихся наличием или отсутствием входных и выходных связей.
Первый тип. КС, не имеющие ни входов, ни выходов, будем называть пустыми или нуль-квантами. Подмножество нуль-квантов в S будем обозначать как N(S).
Второй тип. КС, имеющие только выходы, образуют в S подмножество B. Элементы B будем называть базовыми КС, а само подмножество B базой КСП и обозначать как B(S). Будем говорить, что S построено над B или порождено B.
Третий тип. КС, имеющие как входы, так и выходы, будем называть внутренними или полными КС, а их подмножество обозначать как D(S).
Четвертый тип. КС, имеющие только входы, будем называть вершинами КСП, а их подмножество обозначать как W(S).

3. Функции и операции над КСП.

Каждый КС характеризуется количеством входных и выходных связей. Количество входов или выходов КС si, как принято в теории множеств, будем обозначать как card Ii и card Oi соответственно.
Модифицированные в процессе вычислений значения будем обозначать знаком тильда ( ` ) в качестве верхнего индекса соответствующей переменной.
КСП S будем называть полным, если выполняется следующее условие:

card W(S) = 1 (2)

В полном КСП существует одна и только одна вершина.
Расширим понятие базы следующим образом. В отличие от базы КСП B(S) относительной базой B будем называть любое заданное подмножество:

B = {si }, где все si = >S.

Функция конвергенции КС.

Пусть дано КСП S элементов (si / Ii / Oi). Определим на S функцию конвергенции КС как:

con(si) = card Ii (3)

Областью определения функции является все множество целых неотрицательных чисел.

Функция дивергенции КС.

Аналогично определим функцию дивергенции КС как:

div(si) = card Oi (4)

Область определения данной функции все тоже множество целых неотрицательных чисел.

Функция КС-вероятности КС.

Определим функцию КС-вероятности как функцию обратную по отношению к функции div(si):

qsp(si) = 0, если div(si) = 0 (равно нулю) (5)
qsp(si) = 1/div(si), если div(s) =/ 0 (не равно нулю)

Областью определения данной функции является множество всех неотрицательных действительных чисел.

Можно утверждать, что функция (5) численно выражает меру неопределенности (КС-вероятности) при выборе пути на графе КСП из вершины si; или характеризует степень принадлежности данного кванта структуры к каждому из порожденных им КС потомков; или характеризует силу (потенциал) связи между элементами КСП родителями и потомками.

Функция текущего состояния КС.

Введем в рассмотрение также некоторую (смысл наименования функции будет ясен из дальнейшего изложения) функцию act(si), которую определим следующим образом:

act(si) = sum[act(sj) * div(sj)], суммировать по всем sj = > Ii,

где sum[] - оператор суммирования
* - оператор арифметического умножения

Область определения функции множество положительных действительных чисел.
Значение функции act(si) будем называть текущим состоянием КС si, а множество состояний всех КС текущим состоянием КСП и обозначать как act(S).

Прямое бинарное КС-преобразование (бинарная КС-свертка).

Пусть задано КСП S. Для любой пары si, sj из S определим прямое бинарное КС-преобразование следующим образом:

si & sj = sk . (7)

где sk такой элемент, что Ik=<sisj >, если такового в S нет, то в S создается КС с описанием:

(sk/<sisj >/ < >).

В этом случае описания КС si и sj изменяются в соответствии с выражением:
Oi = Oi + sk ; Oj = Oj + sk,
где + это операция добавления элемента в конец цепочки.

& - знак операции КС-свертки (никакого отношения к логической операции И не имеет).

Прямое N-арное КС-преобразование (N-арная КС-свертка).

По аналогии с (7) определим N-арное прямое КС-преобразование. Для любых s1 ... sn из S прямое N-арное КС-преобразование:

s1 & ... & sn = sk (8)

Результатом операции является КС с именем sk такой, что Ik=<s1 ... sn >, если такового в S нет, он создается.

Обратное КС-преобразование (обратная линейная проекция).

Определим обратное КС-преобразование следующим образом. Пусть задано КСП S и его линейно-упорядоченное подмножество:

L=<s1 ...si ...sn >.

Тогда обратное КС-преобразование или первую обратную линейную проекцию L определим как:

L1 (L) = L1(<s1 ...si ... sn >) = <s1` ...si`...sn` >, (9)
где
si` = si, если si = > B(S);
si` = Ii, если si = > B(S).

Результатом обратного КС-преобразования является упорядоченное множество (цепь) родителей L. Если цепочка L состоит из одного КС si, то L1(si) есть обратное КС-преобразование КС si.
Соответственно n-ую обратную линейную проекцию определим как:

Ln(si) = L1(L1(...L1(si))), (10)

где операция L1(si) применяется n-раз.

Относительным обратным КС-преобразованием si относительно заданной базы B будем называть минимальную n-ю обратную линейную проекцию, удовлетворяющую условию:

LB(si) = Ln(si), где все sj = > Ln(si) = > B или sj = > Ln(si) = > B(S) (11)

"LB" - запись обозначает: линейная проекция относительно базы В ; B читать как нижний индекс.

Полным обратным КС-преобразованием или полной обратной линейной проекцией КС si будем называть минимальную n-ю обратную линейную проекцию, удовлетворяющую условию:

LS(si) = Ln(si), где все sj = > LS(si) = > B(S) (12)

"LS" - запись обозначает: линейная проекция относительно базы S ; S читать как нижний индекс.

Результатом полного обратного КС-преобразования является упорядоченная цепочка базовых прародителей данного КС.
В силу определения (9) для любого si = > S существует одно и только одно значение LS(si).

Понятие уровня в КСП.

Относительным уровнем КС si в КСП S будем называть такое min чило n

UB(si) = n, при котором все sj = > Ln(si) = > B. (13)

КС sj(B будем называть КС-нулевого уровня относительно базы B.
Абсолютным уровнем КС si будем называть такое min чило n, что:

US(si) = n, при котором все sj = >Ln(si) = > B(S). (14)

КС sj = > B(S) будем называть КС-нулевого уровня КСП S.
Уровнем КСП U(S) будем называть max из абсолютных уровней КС si = > S.

Линейное равенство и эквивалентность в КСП.

Введем понятие линейного равенства КС. Пусть заданы S1 и S2 построенные над базой B
и si = > S1 и sj = >S2 .
Тогда
si =B sj, если LB(si) = LB(sj) (15)

"=B" - запись обозначает: линейно-равно относительно базы B.

То есть два КС линейно-равны относительно B тогда и только тогда, когда они имеет равные полные обратные КС-преобразования.
Будем говорить, что S1 линейно-эквивалентно S2 относительно базы B, если для любого si = > S1 в S2 существует такой sj = > S2, что si =B sj и будем записывать это как:

S1 = >B S2. (16)
" = >B " - запись обозначает: линейно-эквиваленто относительно базы В

Будем говорить, что два КСП линейно-равны, если выполняются следующие условие:

S1 = >B S2 и S2 = >B S1. (17)

Записывать равенство будем как S1 =B S2.

"=B" - запись обозначает: линейно-равно относительно базы В.

Таким образом, по определению два КСП S1 и S2 линейно-равны относительно базы B тогда и только тогда, когда все КС из S1 или S2 имеют равные полные обратные КС-преобразования в другом КСП относительно заданной базы.

Можно показать что, для любого КСП S1 такого, что некоторые si = > S1 имеют con(si) > 2 существует линейно-эквивалентное КСП S2 такое, что все si = > S2 имеют con(si) <= 2 (меньше или равно).
Такое КСП будем называть бинарным.

Какое отношение вся эта арифметика имеет к проблемам сознания, восприятия, мышления, информации и машинам мы рассмотрим в последующих лекциях.
Напоследок рассмотрим один простой пример. Предположим, что в нашем Мире у нас есть два некоторых объекта A и B из которых, мы хотим, объединив их, построить новый объект С. Такие вот абстрактные кирпичи. Сказано - сделано. Зададим себе вопрос: Что изменилось в нашем Мире?
Предлагается два варианта ответа:

1) Появился новый объект C и все.

2) Появился новый объект С. Изменились свойства объектов А и В. Изменились свойства всех ранне созданных объектов, в состав которых входят А или В. В некотором смысле изменился весь Мир. Вот теперь все.
Правильный ответ 2. Почему - смотри выше.

До встречи.
Виктор Свиридов.