Теорема гёделя о неполноте - философские аспекты

From: Тармо Пикаро ( tpikaro@turkuamk.fi ) Date: 1999-11-22 06:29

Пересылаю один полезный текст.

Date: 1999/10/28
Author: Andrew S. Bogatyrev <abs@u213.auriga.ru >
NewsGroups: relcom.sci.philosophy

(перевод)

Значение теоремы Гёделя о неполноте.

Сперва позвольте мне попытаться ясно объяснить, что же он доказал.
Доказательство начинается с того, что Гёдель (умер в 1973) определяет
простую символьную систему.
Вводятся понятия "переменная", "утверждение", "доказательство" -
последовательность выражений, упрощающих доказываемую формулу
до уровня постулатов-аксиом при помощи разрешенных преобразований.
Гёдель определяет систему достаточно сложную для выполнения простейших
арифметических действий (сложения), но не более сложную.

Далее Гёдель указывает, что следующее утверждение есть часть системы:
выражение P, которое утверждает
"не имеется доказательства для P".
Если P истинно, то доказательства для P нет.
Если P ложно, то имеется доказательство для P, то есть P истинно
и мы имеем противоречие (доказательства нет, но оно есть).
Таким образом, внутри нашей системы не может быть определено
является ли P истинным.

Как я вижу, это по сути известный "Парадокс лжеца", обобщенный
на все символьные системы. Парадокс этот состоит в том, что некий
человек заявляет: "То, что я говорю - ложь". Это тот же самый парадокс,
имея в виду, что человеческий язык - тоже символьная система.

Доказательство Гёделя построено так, чтобы подчеркнуть, что выражение
P _обязательно_ является частью системы, а не чем-то произвольным,
что некто выдумал. Гёдель НУМЕРУЕТ все возможные доказательства (выводы)

и выражения в заданной символьной системе (предлагает способ нумерации),

перечисляя их в определенном лексикографическом порядке.
Вслед за тем, как Гёдель показывает существование этого вышеупомянутого
"выражения Гёделя" - P - он показывает также, что имеется бесконечное
число аналогичных Гёделевских утверждений в данной системе,
и что даже если они были тщательно пронумерованы и (поскольку они
невыводимы из аксиом) добавлены к исходному набору аксиом (набор
постулатов был расширен), то даже после этого можно выявить бесконечно
много новых Гёделевских утверждений. Это продолжается бесконечно,
что доказывает невозможность избавиться от Гёделевских утверждений
(путем добавления их в набор аксиом или как-то иначе) - все символьные
системы будут содержать их.

[Мораль в том, что недоказуемые утверждения есть и будут всегда.
Это значит, что есть не только ИСТИНА и ЛОЖЬ, но и НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ.
Двузначная логика неадекватна - А.Б.]

Обеспокоенный математик попытается сказать, что Геделевские утверждения
вообще не относятся к делу, что они не являются частью математики и
не имеют ничего общего с числами, поэтому их можно
просто проигнорировать... это рассуждение, которое опускает математика
до уровня инженера, если не хуже. Если мы стоим за соблюдение
принципа "чистоты знания", то доказательство Гёделя абсолютно уместно.

В добавок ко всему, имеются некие известные математические феномены,
которые проявляют свойство Гёделевской неполноты.
Например, в теории множеств математики определяют разные степени
(уровни) бесконечности, основываясь на количестве элементов
множества. Первая степень бесконечности, называемая "алеф-нуль",
есть число целых чисел или рациональных чисел (эти два множества
равномощны). Вторая степень бесконечности есть алеф-нуль возведенная
в степень алеф-нуль (рассматривается N-счетный вектор,
каждый элемент которого имеет мощность N, где N -мощность алеф-нуль).
Долгое время математики пытались понять, является ли мощность множества
действительных чисел, обозначаемая C, второй степенью бесконечности?
В конце концов было доказано, что является ли C равным второй степени
бесконечности - это вопрос аксиоматики. Это утверждение не может быть
доказано или опровергнуто из набора существующих аксиом математики.
Это утверждение образует новую аксиому ("аксиому выбора"),
каковыми оказываются все Гёделевские утверждения.
Так, мы видим первое из утверждений Гёделевского типа,
которые мы вероятно встретим изучая математику.

Разумеется, более знакомым примером является постулат параллельности
из геометрии, поскольку он не может быть выведен из остальных аксиом
Эвклидовой геометрии, и в данном случае то, как мы определим его,
приводит нас к как минимум трем разным непротиворечивым системам.

Что означает, что символьная система, основанная на выводимости
истины из аксиом, является неполной? Как можно создать полную систему,
в которой КАЖДОЕ выражение однозначно истинно или ложно?
Единственный путь сделать это - включить в набор аксиом бесконечное
число утверждений, которые однозначно описывают все случаи,
которые встречались в прошлом, настоящем и будущем.
Этот подход срабатывает только в детерминированном пространстве,
и было бы крайне трудно отыскать различие между такой "полной системой"
и реальностью как таковой.

Раздумья об объеме необходимых данных есть, возможно, правильный путь:
это и есть причина того, что символьные системы неполны.
символьные системы, которые мы используем для описания Вселенной
не являются чем-то отдельным от этой Вселенной: они - часть Вселенной
в точности так же, как мы сами - часть Вселенной. Поскольку
мы содержимся внутри системы, наше "понимание/знание" есть "система,
моделирующая сама себя" (где под "системой" в данном случае понимается
вся "реальность"). Полнота этой системы никогда не может быть
достигнута,
благодаря основному парадоксу ссылки-на-себя: модель содержится
внутри Вселенной, посему если предположить, что модель (разум, идея)
есть нечто внешнее по отношению ко Вселенной, то Вселенная должна
включать и эту модель, то есть Вселенная должна быть больше
самой себя (ибо модель еще и внутри). Или, можно рассуждать итеративно:
модель моделирует Вселенную. Вселенная содержит модель в себе.
Модель должна смоделировать и себя саму. Модель должна смоделировать
модель самой себя. И так далее до бесконечности, до опупения.

Поэтому Гёделева неполнота - это нечто, чего следует ожидать.
Это нечто, что может быть понято даже интуитивно,
без математического подхода к доказательству: понятие неполноты,
незавершенности в частности ясно просматривается в учении Дзен-буддизма.

Раз имеется парадокс, причем наблюдаемый в реальности, то ум пытается
разрешить его. Существует идея о том, что сознание являяется
над-множеством Вселенной, и через сознание мы можем познать Вселенную.
Если мы осознаем, что Вселенная плюс наше сознание образуют систему,
которую мы все равно должны (хотим) "познать", то этот подход
не срабатывает - ибо итеративно продолжает расширяться до бесконечности.

Возможно, мы можем обойти ссылку на себя, обойдя самих себя:
то есть повысив число измерений нашей собственной сложности,
используя нечто не имеющее ясного восприятия, определенной точки
зрения. Фактически, кроме истины и лжи мы теперь должны пользоваться
и понятием неопределенности, которая может разрешаться в истину или
ложность
позднее или не разрешиться вовсе. Некий сорт замороженного,
приостановленного
вычисления.

Ответ учения Дзен таков - истинно то, что является истинным в
повседневной
жизни. Это вполне четкий критерий: во Вселенной, которая запутывает и
обескураживает нас, что мы еще можем сделать, кроме как быть тем,
что мы ЕСТЬ? Мы должны спросить, почему это
знание о Вселенной должно быть помещено в виде символьной системы
в наш ум? Информация, которую мы ищем, существует вокруг нас,
постоянно, складываясь в шаблоны, которые мы хотим понять и
разложить на составляющие. Чего хорошего мы найдем в таком понимании?
Ясно, что мы от рождения иммем присущую уму нужду пытаться понять
и схематизировать, но есть ли какая то иная причина для этого?
Чтобы быть, достаточно просто быть.

28 октября 1999 г. 16:59